트러스요소    
2007.06.09 오후 9:14:25 6497
 
   
  MIDAS Family 프로그램의 truss요소는 일반적인 truss 요소, 인장력 전담 요소 (Hook 기능 포함), 압축력 전담 요소 (Gap 기능 포함), 케이블 요소 (등가 트러스 & 탄성 현수선 요소) 를 포함한다.
   
  일반적인 truss 요소는 축 방향 변형만을 고려하며, 따라서 이동 자유도만을 갖는다. 그러므로, 이 요소는 3차원 Cartesian 좌표계 상에서 절점 당 세 개씩 총 6개의 자유도를 갖는다.
   
 

그림 1 트러스요소의 자유도
   
  일반적인 truss 요소의 수식화를 위한 과정은 다음과 같다. Truss 요소에서 요소 좌표계의 x축은 부재축과 같다
   
 

그림 2 트러스요소의 요소좌표계
   
  이 요소는 x축 방향으로 하나의 generic 이동 변위 u를 갖는다. 절점 변위는 절점 1과 2에서 x 방향으로의 이동 변위 로 구성된다.
   
  요소내의 어떤 지점에서의 generic 변위가 x축을 따라 선형적으로 변한다고 가정하면, 다음과 같다.
   
 
(1)
   
  이 식은 변위 함수라 불린다. 이것은 두 미지수 를 결정함으로써 변위 형상 함수의 형태로 될 수 있다. 즉, x=0일 때, 이고, 일 때,이므로, 이다. 이들 상수들을 (1)식에 대입하면, 다음과 같다.
   
 
(2)
   
  이 식은 이제 상수들 대신 절점 변위들의 항으로 표현된다. 식 (2)는 다음과 같이 다시 쓰일 수 있다.
   
 
(3)
   
  여기서 f는 형상함수의 벡터, q는 절점 변위의 벡터이다.
   
  Truss 요소에 대한 변형도-변위 관계는 단지 하나의 미분 관계로 구성된다.
   
 
(4)
   
  여기서 는 변형도의 벡터, d는 미분 연산자의 벡터이다.
따라서, 변형도-변위 행렬 B는 다음과 같다.
   
 
(5)
   
  마찬가지로, 응력도-변형도 관계는 다음과 같다.
   
 
(6)
   
  여기서 는 응력도 벡터, E는 탄성 Constitutive 행렬이다.
그러므로,
   
 
(7)
   
  그러면, prismatic 요소의 강성행렬은 다음과 같이 계산될 수 있다.
   
 
(8)
   
  인장력 전담 요소와 압축력 전담 요소의 강성 행렬은 위와 같다. 다만, 부재력 또는 변위 조건에 따라 위의 강성을 발휘할 수도, 그렇지 않을 수도 있다.
   
  우선, 인장력 전담 요소는 요소 축 방향의 인장력만 전달한다. 따라서, 부재력이 양 (인장) 이면, 위의 강성을 발휘하고, 음 (압축) 이면 강성은 0이 된다. 여기서 Hook 기능이란, 일정한 초기 간격 (Hook Distance) 이 있어서, 이 간격 이상 상대 변위가 발생할 때만 강성이 발휘되는 것을 의미한다. 즉,
   
 
(9)
   
  반면, 압축력 전담 요소는 요소 축 방향의 압축력만 전달한다. 따라서, 부재력이 음일 때만 식 (8)의 강성이 발휘된다. 여기서도 마찬가지로, Gap 기능이 있어, 일정한 초기 간격 (Gap Distance) 이상 상대 변위가 발생할 때만 강성이 발휘된다. 즉,5
   
 
(10)
   
  케이블 요소는 요소 축 방향의 인장력만 전달하고, 부재의 장력에 따라 강성이 변하는 케이블의 특성을 고려하기 위해 사용된다. 이 요소는 선형 해석 시에는 등가 truss 요소로, 기하비선형 해석 시에서는 탄성 현수선 요소로 자동 전환되어 적용된다.
   
  등가 truss 요소의 강성은 일반 탄성 강성과 처짐 (Sag) 에 의한 강성으로 구성된다. 케이블 요소는 일반적인 truss 요소와 동일한 절점과 하중을 가지므로, 위 식 (8)의 강성과 행렬 부분은 동일하지만, 계수 부분 (EA/L) 은 조합된 탄성 계수를 사용한다.
   
  일반 탄성 강성은 식 (8)의 계수와 동일하다. 반면, 처짐에 의한 강성은 다음과 같다.
   
 
(11)
   
  여기서, T는 케이블의 장력, w는 케이블의 단위 길이 당 자중이다.
  탄성 강성과 처짐에 의한 강성이 직렬로 연결된 조합을 고려하면, 조합된 등가 truss의 강성은 다음과 같다.
   
 
(12)
   
  탄성 현수선 요소는 기하비선형 해석 시에 적용되고, 그 접선 강성은 다음과 같이 계산된다.
   
  두 점을 갖는 케이블 요소 i점에서의 변위 과 j점에서의 변위 가 발생하여 절점력이가 되었다고 가정하자. 케이블 요소 내의 임의의 점 P(x, y, z)는 Lagrangian 좌표계로는 늘어난 길이에 대해 p, 늘어나지 않은 길이에 대해 s이다.
   
 
그림 3 탄성 현수선 요소 (케이블)의 접선강선 개념도
   
  이 케이블에서 기하학적인 구속조건과 인장력의 평형 조건은 다음과 같다.
   
 
(13)
   
 
(14)
   
  따라서, 요소 내 임의의 점 P에서의 인장력 T는 다음과 같다.
   
 
(15)
   
  변형되지 않은 Lagrangian 좌표 s와 Cartesian 좌표계 간의 관계는 다음과 같다.
   
 
(16)
   
  여기서,
   
 
(17)
   
  이고, 경계조건은 다음과 같다.
   
 
(18)
   
  따라서,
   
 
(19)
   
  그리고,
   
 
(20)
   
  양 단부의 절점의 평형과 변위의 적합성 조건은 다음과 같다.
   
 
(21)
   
  식 (21)의 양 변을 미분하면, 절점력과 길이 변화의 관계식은 다음과 같다.
   
 
(22)
   
  여기서 유연도 행렬의 각 성분들은 다음과 같다.
   
 
(23)
   
  여기서 이다.
   
  따라서, 접선 강성은 다음과 같이 얻어진다.
   
 
(24)
   
  그런데,이므로,
   
 
(25)
   
  이고, 따라서,
   
 
(26)
   
  이다.
   
  케이블 요소를 사용할 경우에는 해당 부재의 중량 밀도 (weight density) 를 반드시 입력해야 한다.
   
 
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