입체요소    
2007.06.09 오후 8:37:45 4032
 




현재 마이다스에서 사용되는 Solid 요소에는 isoparametric 4절점 사면체 요소, 6절점 오면체 요소, incompatible 8절점 육면체 요소가 있다. 각 요소는 전체 좌표계와 요소 좌표계에서 모두 다음 그림과 같이 절점 당 3개의 자유도를 갖는다.



Isoparametric solid 요소에 대한 유한 요소 해석의 수식은 면내 요소와 비슷하다.
우선, 요소의 형상함수를 가정하여 generic 좌표와 변위에 대한 식을 절점 좌표와 변위의 항으로 유도한다.

즉,



여기서 x, y, z는 요소 내의 임의의 지점에서의 generic x, y, z 좌표, u, v, w는 그 지점의 x, y, z 방향 generic 변위, 는 요소의 각 절점의 x, y, z 좌표, ui, vi, wi는 각 절점의 x, y, z 방향 변위, 는 i절점에 대한 형상함수, n은 절점의 개수이다.


이제, 이 지점에서의 변형도는 다음과 같이 표현된다.

즉,



그러면, 요소의 응력도는,



여기서 D는 응력도와 변형도 간의 관계를 나타내는 탄성 행렬이다.
선형 등방성 재료에 대해, D 행렬은 다음과 같다.



따라서, 일반적인 isoparametric solid 요소의 행렬들은 다음과 같이 구해진다.



여기서 V는 요소의 부피, b는 body force 벡터, 는 초기 변형도의 벡터, 그리고 는 적분 영역이다.


이상은 일반적인 isoparametric solid 요소에 대한 수식화 과정이다. 각 요소에 대해 이상의 과정은 동일하지만 형상함수, 수치적분 과정이 다르고, 8절점 육면체 요소에서는 incompatible mode를 사용하므로 추가적인 과정이 필요하다.


우선, 4절점 사면체 요소에 대한 형상함수는 다음과 같다.



그리고, 사면체 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.





오면체 요소에 대한 형상함수는 다음과 같다.



그리고, 오면체 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.



여기서, j와 는 weighting factor, |J|는 Jacobian 행렬식 값, n은 삼각형 면의 적분 점 개수, m은 오면체의 높이에 대한 적분 점의 개수이다.


MIDAS의 6절점 오면체 요소는 point Gaussian quadrature 적분을 사용하므로, n=4, m=2



팔면체 요소에 대한 형상함수는 다음과 같다.



그런데, 팔면체 요소는 incompatible 모드를 갖는다. 따라서, generic displacement는 다음과 같이 구해진다.



여기서, 추가적인 incompatible 모드의 형상함수는 다음과 같다.



이하의 과정은 평면 요소에서처럼 static condensation에 의해 가상 자유도가 소거된 실제의 24개의 자유도만을 갖는 강성행렬이 만들어진다.


그리고, 팔면체 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.



여기서, 은 weighting factor, |J|는 Jacobian 행렬식 값, n은 적분 점 개수이다.
MIDAS의 8절점 육면체 요소는 point Gaussian quadrature 적분을 사용하므로, n=2이고, 가중치는 , 그리고 이다.


단. 비적합 모드와 관계되는 항들은 patch test 를 통과하기 위해 1point 적분을 해야하므로,
을 행렬의 해당 항에 대입한다.
 
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