축대칭요소    
2007.06.09 오후 8:38:39 5154
 


현재 마이다스에서 사용되는 Axisymmetric 요소는 isoparametric 3절점 삼각형 요소, 4절점 사각형 요소이다. Axisymmetric 요소는 r-z 요소 좌표계에서만 정의되고, 다음 그림과 같이 각 절점 당 2개의 자유도를 갖는다.



soparametric Axisymmetric 요소에 대한 유한 요소 해석의 수식은 면내 요소와 비슷하다.
우선, 요소의 형상함수를 가정하여 generic 좌표와 변위에 대하 식을 절점 좌표와 변위의 항으로 유도한다.

즉,



여기서 r, z는 요소 내의 임의의 지점에서의 generic r, z 좌표, ur, uz는 그 지점의 r, z 방향 generic 변위, ri, zi는 요소의 각 절점의 r, z 좌표, uri, uzi는 각 절점의 r, z 방향 변위, fi는 절점에 대한 형상함수, n은 절점의 개수이다


이제, 이 지점에서의 변형도는 다음과 같이 표현된다.



그러면, 요소의 응력도는


여기서 D는 응력도와 변형도 간의 관계를 나타내는 탄성 행렬이다.
선형 등방성 재료에 대해, D 행렬은 다음과 같다.



일반적인 isoparametric axisymmetric 요소의 행렬들은 다음과 같이 구해진다.



여기서 V는 요소의 부피, A는 요소의 면적, b는 body force 벡터, 는 초기 변형도 벡터, 그리고 는 적분 영역이다.


이상은 일반적인 isoparametric axisymmetric 요소에 대한 수식화 과정이다. 삼각형 요소와 사각형 요소에 대해 위의 과정은 동일하지만, 형상함수, 수치적분 과정이 다르다.


우선 3절점 삼각형 요소에 대한 형상함수는



그리고 삼각형 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.



여기서 W 는 weighting factor, |Jj|는 Jacobian 행렬식 값, n은 적분 점의 개수이다.
마이다스의 3절점 삼각형 axisymmetric 요소는 4 point Gaussian quadrature 적분을 사용하므로,이다.


4절점 사각형 요소에 대한 형상함수는 다음과 같다.



그리고 요소의 수치적분 식은 다음과 같다.



여기서 는 weighting factor, |J|는 Jacobian 행렬식 값, n은 적분 점의 개수이다.
MIDAS의 4절점 사각형 axisymmetric 요소는 2*2 Gaussian quadature 적분을 사용하므로, n=2이고, 이다.
 
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