평면응력/평면변형 요소    
2007.06.09 오후 9:10:53 4484
 




  현재 마이다스에서 사용되는 plane stress와 plane strain 요소는 isoparametric 3절점 삼각형 요소와, incompatible 4절점 사각형 요소이다. 각 요소는 전체 좌표계에서 다음 그림과 같이 각 절점에서 x, y, z 방향의 3개의 변위 자유도를 갖는다.


 
 

이를 다시 요소 좌표계로 변환하면 다음 그림과 같이 각 절점에서 요소 x, y 방향의 2개의 자유도를 갖는다.


 
 

일반적인 isoparametric 평면 요소에 대한 기본 유한 요소 해석의 수식은 다음과 같다.
   
우선, 요소의 형상함수를 가정하여 generic 좌표와 변위에 대한 식을 절점 좌표와 변위의 항으로 유도한다.
   

즉,

   

여기서 x, y는 요소 내의 임의의 지점에서의 generic x, y 좌표, u, v는 그 지점의 x, y 방향 generic 변위, i 는 요소의 각 절점의 x, y 좌표, 는 각 절점의 x, y 방향 변위, 는 i 절점에 대한 형상함수, 그리고 n은 절점의 개수이다.
   


이제, 이 지점에서의 변형도는 다음과 같이 표시된다.
   

그러면, 요소의 응력도는,
   

여기서 D는 응력도와 변형도 간의 관계를 나타내는 탄성 행렬이다. 또한, 유한 요소 해석 상에서, 평면 응력도 요소와 평면 변형도 요소 간의 유일한 차이를 나타내는 부분이 이 D 행렬이다.
   


등방성 재료에 대해, 평면 응력도 요소에서의 D 행렬은 다음과 같다.



그리고, 평면 변형도 요소에서는 다음과 같다.



그러면, 일반적인 유한 요소 해석을 위한 구성 행렬들은 다음과 같이 구해진다.

   

여기서, V는 요소의 부피, A는 요소의 면적, t는 평면 요소의 두께, b는 body force의 벡터, 는 초기 변형도의 벡터, 그리고 는 적분 영역 (가령, 모서리 하중에 대해서는 모서리 길이, 점 하중에 대해서는 적분 안함, 온도 하중에 대해서는 부피, 등) 이다.
   
이상이 평면 isoparametric 면내 요소에 대한 수식화의 과정이다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소에 대해 위 과정은 동일하지만, 형상함수, 수치적분 과정이 다르고, 특히 4절점 사각형 요소에서는 incompatible mode를 사용하므로 추가적인 과정이 필요하다.
   


우선, 3절점 삼각형 요소에 대해 형상함수는 다음과 같다.



그리고 삼각형 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.

   

여기서, j는 weighting factor, 는 Jacobian 행렬식 값, n은 적분 점의 개수이다.
MIDAS의 3절점 삼각형 요소는 1 point Gaussian quadrature 적분을 사용하므로, n=1이고, 이다.
   


4절점 사각형 요소에 대한 형상함수는,



그런데, 4절점 사각형 요소는 incompatible 모드를 가진다. 따라서, generic displacement는 다음과 같이 구해지고,



추가적인 incompatible mode의 형상함수는 다음과 같다.

  

   여기서 는 상수이다.
   


그러면 strain-displacement 행렬 B는 다음과 같이 구해진다.



그러면 strain-displacement 행렬 B는 다음과 같이 구해진다.
   

여기서, BC는 원래의 형상함수 fi에 대한 항들의 행렬이고, BI는 incompatible 모드에 대한 항들의 행렬이다.
   


따라서, 요소의 강성은 다음과 같고,

   


요소의 평형식은 다음과 같다.

   


Static condensation에 의해 최종적인 강성식은 다음과 같다.

   

Incompatible 모드는 강성행렬의 구성 시에만 고려되고, 나머지 body force 등의 계산에는 포함되지 않는다.
   


이제 사각형 요소에 대한 수치적분 식은 다음과 같다.

   

여기서, 는 weighting factor, |J|는 Jacobian 행렬식 값, n은 적분 점의 개수이다.
MIDAS의 4절점 사각형 요소는 2*2 Gaussian quadrature 적분을 사용하므로, n=2이고, 이다.
    단, 비적합 노도와 관계되는 항돌은 1point .직분을 해야하므로 행렬의 해당 항에 대입한다.
 
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