판요소    
2007.06.09 오후 9:11:55 6153
 




마이다스의 판 요소는 3절점 삼각형과 4절점 사각형 요소로 구성된다. 마이다스의 판 요소는 평면 shell에 해당하는 요소로써, 다음 그림과 같이 plane stress 요소와 plate bending 요소의 조합에 의해 구성된다. 면 내의 두 변위 자유도에 대한 강성 항들은 plane stress 요소의 구성과 같은 방법을 사용하고, 면 외의 변위 자유도와 휨에 대한 두 자유도는 plate bending 요소의 구성 방법을 사용한다.



Plane stress 요소에 대한 수식은 plane stress & strain element 부분을 참조하라


Plate bending 요소는 휨을 받는 판을 모델링하기 위한 요소이다. 이 요소는 다시 전단 변형을 고려하지 않는 얇은 판 요소와, 전단 변형을 고려한 두꺼운 판 요소로 나눌 수 있다.

얇은 판 요소는 discrete Kirchhoff 삼각형 (DKT) 요소를 기본으로 한다. 이 요소는 그림과 같이 요소 좌표계에서 1개의 변위 자유도와 2개의 회전 자유도를 갖는다. 4절점 사각형 요소는 DKT요소를 이용하여 그림과 같이 사각형을 대각선으로 나누어 생기는 두 개의 삼각형을 중첩하는데, 대각선은 두 방향이 생기므로 총 4개의 삼각형을 중첩하고 그 결과적인 강성을 반으로 나누어 구성한다.




DKT 요소에 대한 유한 요소 해석의 수식은 다음과 같이 구성된다.

이 요소는 전단 변형을 갖는 일반적인 판 이론으로부터 전단 변형을 무시하기 위한 가정 (Kirchhoff 가설) 들을 사용하여 유도된다.

전단 변형을 갖는 판 이론 (Reissner 혹은 Mindlin 판 이론) 은 다음과 같다 : "판의 변형되지 않은 중립면에 대한 법선 상의 지점들은 변형 후에, 직선상에 있지만 변형된 중립면에 대해 반드시 수직은 아니다." 이 가정을 사용하면, 요소 내의 임의의 지점 x, y, z에서의 변위 성분은 다음과 같다.



여기서 는 각각 x-z와 y-z 평면에서 변형되지 않은 중립면에 대한 법선의 회전각이다. 전단변형을 무시하는 Kirchhoff 판 이론에서는, 이다.
선형 휨 변형도의 식은 다음과 같다.



여기서 z는 중립면으로부터의 거리이고, 곡률의 벡터이다.
그리고 전단 변형도에 대한 식은 다음과 같다.



판의 응력도 상태는 plane stress 요소와 같은 것으로 가정된다. 따라서 등방성 요소에 대해 요소의 휨 응력도는 다음과 같다.



그리고 전단 응력도는 다음과 같다.



이제 변형 에너지는 다음과 같이 구해진다.



여기서 등방성 재료에 대해 Db와 Ds는 다음과 같다.



여기서, k는 전단 응력도의 불-균일성을 고려하기 위한 전단 보정 계수로써, 보통 5/6으로 간주된다.


그러면, 정의에 의해 휨 모멘트 M과 전단력 Q는 두께에 대한 응력도의 적분에 의해 다음과 같이 얻어진다.



이 요소의 경계조건은 변위와 회전각의 적합조건만을 포함하는 연속성 조건이고, 미분항을 포함하지 않으므로 만족시키기 쉽다.


이상의 식들은 두꺼운 판에 대해서 성립하는 전단 변형을 포함하는 판의 수식이다. 이제 전단 변형이 없는 DKT 요소를 개발하기 위해서는 우선 항을 무시하고, 다음의 가정을 한다.

(1) 요소는 절점 당 3개의 자유도, 즉 변위 w와 회전각 만을 갖는다.
(2) 전단 변형이 무시되므로, 절점 회전각은 Kirchhoff의 경계조건
만족되어야 한다.
(3) Kirchhoff 판 이론의 가정들이 어떤 이산 지점에서 구속될 수 있다.
(4) 회전각 의 적합 조건이 만족되어야 한다.



또한, DKT 요소의 수식화를 위해 다음의 가정을 세운다.


(1) 회전각 는 요소에서 이차로 변한다. 즉, 이다.
여기서 는 각 절점과 변 중앙 점에서의 값이다.는 다음에 주어지는 형상 함수이다.



(2)


Kirchhoff 가설은 각 절점과 중간 절점들에서 구속된다.
즉, 다음 조건이 만족되어야 한다.


여기서 s는 변의 길이방향이다.

(3) 변을 따른 w의 변화는 삼차이다. 즉,


여기서 k는 변 ij의 중앙 절점이고, 는 변 ij의 길이이다.
변 접선방향에 대한 회전각 은 변을 따라 선형으로 변하는 것으로 가정된다.
즉,


이제 절점 자유도는 다음과 같고,



각 변에 대해 다음의 기하학적 관계가 요구된다.







는 가정된 형상함수에 의해 다음과 같이 구해진다.





여기서,




그러면, 곡률 는 다음과 같이 구해진다.



따라서, DKT 요소의 강성행렬은 다음과 같이 구해진다.



물론, 이 식은 수치적분에 의해 계산되고, 이 요소에 대해서는 3 point Gaussian quadratrure 적분이 행해진다.

또한, 요소 내의 어떤 지점에서의 휨 모멘트 M은 다음에 의해 구해진다.




MIDAS의 두꺼운 판 요소는 modified Discrete Kirchhoff Mindlin Triangle/Quadrilateral (DKMT / DKMQ) 요소이다.

DKMT 요소의 수식화 과정은 위의 DKT 요소와 거의 동일하다. 다만, 전단강성과 관계되는 항들이 무시되지 않고 계산에 포함된다.

또한, 수식화를 편리하게 하기 위해 조금 다른 형식으로 표현되는 부분이 있다.

우선, 곡률에 대한 식과 stress-strain 관계는 DKT 요소와 동일하다.

형상함수는 절점과 변 중앙 점의 항들을 분리하여 다음과 같이 표현된다.



여기서,


(단, i=1, 2, 3)


그러면, 곡률 벡터는 다음과 같이 계산된다.



또한, 전단 변형도는 다음과 같이 계산된다.



따라서, strain-displacement 행렬 B는 다음과 같이 구해진다.



여기서 를 만족시키는 변환행렬로 다음과 같이 계산된다.



따라서, 최종적인 강성은 다음과 같다.



또한, 요소내의 어떤 지점에서의 휨 모멘트와 전단력은 다음과 같다.



DKMQ 요소에 대한 수식화 과정은 DKMT 요소와 거의 같다. 다만, 절점 개수와 형상함수가 다르기 때문에 차이가 발생한다. DKMT 요소의 각 행렬에 대응되는 DKMQ 요소의 행렬들은 다음과 같다.



단, 여기서 는 Jacobian 역행렬의 각 항들이다.

 
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