보요소    
2007.06.09 오후 9:13:32 5847
 
MIDAS Family 프로그램의 보 요소는 3차원에서 고려되는, 전단 변형을 갖는 요소이다. 이 삼차원 prismatic, 등방성 보 요소는 다음 그림에서 보여지는 요소 좌표계에서 12개의 자유도를 갖는다.





전단변형을 갖는 prismatic 등방성 보 요소의 수식을 개발하기 위한 과정은 다음과 같다. 여기서는 수식 전개의 편의상 그림과 같이 x, z 평면에 있는 이차원 보 요소를 고려한다.





전단 변형의 효과를 가진 보-휨 해석을 고려하면, 중립축에 수직인 평면은 변형 후에도 평면이라는 가정은 유지하되, 전단 변형으로 인해, 이 단면은 중립축에 수직으로 유지되지 않는다. 원래 보 중립축에 수직인 평면의 총 회전각은 중립축에 대한 접선의 회전각과 전단 변형으로 인해,



여기서, 는 단면에 대해 일정한 전단 변형도이다. 실제 전단 응력도와 전단 변형도는 단면에 걸쳐 변화하므로, 전단 변형도 는 대응되는 전단 면적에 대한 동등 상수 변형도이다,



여기서 V는 고려되는 단면에서의 전단력이다.


위 가정을 이용한 보 요소의 유한 요소 수식은 기본 가상 일의 원리, 혹은 총 최소 위치 에너지의 원리를 사용하여 얻어질 수 있다. 위 그림의 보의 총 위치 에너지는





여기서 p와 m은 단위 길이 당 가로와 모멘트 하중이다. 위 식의 우변에서의 처음 두 적분 항들은 휨과 전단 변형에 대응되는 변형도 에너지를 나타내고, 끝의 두 적분 항들은 외력의 위치 에너지를 나타낸다.


최소 위치 에너지의 조건 는 다음을 도출한다.




이제 위의 조건을 바탕으로, 전단변형을 포함하는 보 요소의 수식을 구성할 것이다.
우선, 요소의 변위는 다음과 같이 독립적으로 가정된다.



가정된 변위에 의해, 휨에 대한 변형도와 곡률, 그리고 전단 변형도는 다음과 같이 주어진다.



그리고, 모멘트와 곡률의 구성관계는 다음과 같다.


이제, 회전에 대한 형상함수를 다음과 같이 가정된다.




이 형상함수를 이용하면, 곡률의 계산은 간단하다.


여기서,


또한, 전단 변형도의 장은 다음과 같다.


여기서 회전각 를 요소 길이에 대한 이차함수로 가정하면,


이 식을 대입하면, 전단 변형도의 장은 다음과 같다.


그런데, 전단 변형도장은 다음 구속조건을 만족해야 한다.


따라서, 다음 조건식이 성립되고,


이제, 중앙 절점 3의 회전각은 나머지 변위 항들로 표현될 수 있다.



이제 곡률과 전단 변형도는 다음과 같이 표현될 수 있다.




여기서,




이제 강성행렬은 다음과 같이 구해진다.






결과적으로 삼차원에서의 전단 변형을 포함하는 보 요소의 강성행렬은 다음과 같다.





여기서 강성행렬의 각 항들은 다음과 같다.




여기서 E는 영의 계수, G는 전단 계수, 는 각각 x, y, z축 방향의 offset을 고려한 요소의 길이, A는 단면적, J는 비틀림 계수, 는 각각 y축과 z축에 대한 단면 이차 모멘트이다.
그리고 는 전단 변형을 고려하기 위한 항으로써, 다음과 같이 계산된다.




여기서 는 각각 y축과 z축 방향의 전단 면적이다.

MIDAS의 보 요소는 여타 프로그램들이 대부분 그러하듯이 12개의 자유도를 가지고, 전단 변형을 고려하여 보다 정확한 결과를 준다. 그러나, 축 방향 회전에 대해, warping torsion의 효과는 고려되지 않으며, pure torsion에 대한 항만이 계산된다. 이 영향은 warping의 효과가 크게 나타나는 특수한 구조물 (가령, 보 경간 내에서 큰 비틀림 모멘트를 받는 구조물 등) 에서는 고려되어야 하겠지만, 보통의 범용 구조 해석 프로그램에서는 계산되지 않는다.
 
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